Question

已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足，且对x，y∈（-1，1）时，有．
（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令，求数列{f（x_n）}的通项公式；
（III）设T_n为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）判定奇偶性需判定f（-x）与f（x）的关系，可令x=y=0，求出f（0），然后令x=0时，可得f（-x）与f（x），可判定奇偶性；
（II）欲求数列{f（x_n）}的通项公式先研究该数列的特点，利用条件可得，根据奇偶性可得，则{f（x_n）}是以为首项，以2为公比的等比数列，可求出所求；
（III）先利用等比数列求和公式求出T_n，然后假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有成立，求出不等式左边的最大值建立不等式关系，可求出m的取值范围，从而求出所求．
解答：解：（I）令x=y=0，得f（0）=0．
又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．       （3分）
（II）∵{x_n}满足，
∴0＜x_n＜1．
∴．
∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（-x_n）=-f（x_n）
∴f（x_n+1）=2f（x_n），即．
∵{f（x_n）}是以为首项，以2为公比的等比数列．
∴f（x_n）=2^n-1．                                                    （5分）
（III）
===．
假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，
有成立，
即对n∈N^*恒在立．
只需，即m≥10．
故存在正整数m，使得对n∈N^*，有成立．
此时m的最小值为10．                                       （5分）
点评：本题主要考查了等比数列的求和，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了数列与不等式的综合应用，以及转化的思想和计算的能力，属于难题．