题目内容
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值y (美元)与其重量x (克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元.
（Ⅰ）写出y关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（Ⅲ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n克拉，
试证明：当m=n 时，价值损失的百分率最大.
(注：价值损失的百分率=
×100% ；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
【答案】
（1）
；（2）37.5％；（3）见解析.
【解析】本试题主要是考查了函数与不等式在实际生活中的运用。
解：（Ⅰ）依题意设
，
，
故．…3分
(Ⅱ）设这颗钻石的重量为a克拉， 由(1)可知，
按重量比为l∶3切割后的价值为
．…………………4分
价值损失为
．………………………………5分
价值损失的百分率为
=0.375
∴价值损失的百分率为37.5％．………………………………8分
(Ⅲ）证明：价值损失的百分率应为
，…………………11分
等号当且仅当m=n时成立.
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率达到最大.…12分
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