题目内容

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（1）写出V关于W的函数关系式；
（2）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（3）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为M克拉和N克拉，试用你所学的数学知识证明：当M=N时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）．
分析：（1）根据“钻石的价值V（美元）与其重量W（克拉）的平方成正比”建立模型v=kw2，再由“一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元”解得模型．
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，根据（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2，则价值损失为6000a2-[6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2]，根据“价值损失的百分率=
原有价值-现有价值
原有价值
×100%”求解．
（3）证明：先建立价值损失的百分率模型为：
6000(m+n)2-(6000m2+6000n2)
6000(m+n)2
=
2mn
(m+n)2
，再用基本不等式求得最值．
解答：解（1）依题意设v=kw2，（2分）
又当w=3时，v=54000，∴k=6000（3分）
故v=6000w2（4分）
（2）设这颗钻石的重量为a克拉，
由（1）可知，按重量比为1：3切割后的价值为6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2（6分）
价值损失为6000a2-[6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2]（7分）
价值损失的百分率为
6000a2-[6000(
1
4
a)2+6000(
3
4
a)2]
6000a2
=0.375=37.5%
答：价值损失的百分率为37.5%（8分）
（3）证明：价值损失的百分率为
6000(m+n)2-(6000m2+6000n2)
6000(m+n)2
=
2mn
(m+n)2
≤
2(
m+n
2
)2
(m+n)2
=
1
2

当且仅当m=n时，等号成立．
即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大．（12分）
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了新定义构造函数和基本不等式求最值．
练习册系列答案
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国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率．
（注：价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=
原有价值-现有价值原有价值
×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）
国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某钻石的价值y（美元）与其重量x（克拉）的平方成正比，若一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）把一颗钻石切割成两颗钻石时，钻石的总价值（不计切割时的损耗），现在将一颗钻石按重量比1：3切割成两颗钻石，求价值损失的百分比p．

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