Question

点P是方程

(x-5)2+y2

-

(x+5)2+y2

=6所表示的曲线上的点，若点P的纵坐标是4，则其横坐标为

 

．

Answer 1

分析：根据两点间的距离公式与双曲线的定义，可得点P的轨迹是以F₁（-5，0）、F₂（5，0）为焦点的双曲线的左支．由题中数据求出双曲线的方程，再将y=4代入解出x的值，即可得出点P的横坐标．

解答：解：设点P（x，y），F₁（-5，0），F₂（5，0），
可得|PF1|=

(x+5)2+y2

，|PF2|=

(x-5)2+y2

．
∵

(x-5)2+y2

-

(x+5)2+y2

=6，
∴点P满足|PF₂|-|PF₁|=6，可得点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的双曲线的左支．
又∵c=5，2a=6，得a=3，∴b²=c²-a²=25-9=16，
因此该双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=1（x＜0），
若点P的纵坐标是4，则将y=4代入双曲线方程，得

x2

9

-

42

16

=1，解得x=-3

2

（正值舍去）．
∴点P的横坐标为-3

2

．
故答案为：-3

2

点评：本题给出动点P满足的等式，求当P的纵坐标为4时P的横坐标．着重考查了双曲线的定义与标准方程等知识，属于基础题．