题目内容
已知F1、F2是椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的左右焦点，A（0，b），连接AF1并延长交椭圆C于B点，若
=
，
•
=5，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是直线x=5上的一点，直线PF2交椭圆C于D、E两点，是否存在这样的点P，使得
⊥
？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| F1B |
| AB |
| AF2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是直线x=5上的一点，直线PF2交椭圆C于D、E两点，是否存在这样的点P，使得
| AD |
| AE |
分析：（1）设出B点的坐标，写出所用向量的坐标，利用
=
列式求出B的坐标（用含有b，c的代数式表示），然后分别用B在椭圆上和
•
=5列式联立方程组求解a，b，c，则椭圆方程可求；
（2）假设存在点P，由题意设出DE所在直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出D，E两点的横坐标的和与积，把
⊥
转化为坐标运算，代入根与系数关系后求出k的值，
求出直线方程后验证即可得到答案．
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| F1B |
| AB |
| AF2 |
（2）假设存在点P，由题意设出DE所在直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出D，E两点的横坐标的和与积，把
| AD |
| AE |
求出直线方程后验证即可得到答案．
解答：解：（1）设B（x0，y0），又F1（-c，0），A（0，b），F2（c，0）．
∴
=(-c，-b)，
=(x0+c，y0)，
=(c，-b)．
∵
=
，∴(-c，-b)=
(x0+c，y0)，
∴
，即B(-
c，-
b)，
则
=(-
c，-
b)．
又点B在椭圆上，∴a2=5c2，
又
•
=5，即(-
c，-
b)•(c，-b)=5，
∴b2-c2=3，又∵a2=b2+c2，∴a=
，b=2，c=1．
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）假设存在点P，由题意知直线DE的斜率一定存在，设为k，
则DE的方程为y=k（x-1），又设D（x1，y1），E（x2，y2），
由
⇒(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0
⇒x1+x2=
，x1x2=
．
∵
⊥
，∴
•
=0，
∴x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，x1x2+（kx1-k-2）（kx2-k-2）=0．
即(k2+1)x1x2-k(k+2)(x1+x2)+(k+2)2=0，代入得
=0
化简，得
=0，解得k=-2或k=
．
当k=-2时，直线DE的方程为y=-2x+2，由于直线DE过点A，不合题意．
当k=
时，直线DE的方程为y=
x-
，与x=5联立，求得点P(5，
)．
因此存在点P(5，
)满足题意．
∴
| AF1 |
| F1B |
| AF2 |
∵
| AF1 |
| 3 |
| 2 |
| F1B |
| 3 |
| 2 |
∴
|
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
则
| AB |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
又点B在椭圆上，∴a2=5c2，
又
| AB |
| AF2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴b2-c2=3，又∵a2=b2+c2，∴a=
| 5 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 5 |
| y2 |
| 4 |
（2）假设存在点P，由题意知直线DE的斜率一定存在，设为k，
则DE的方程为y=k（x-1），又设D（x1，y1），E（x2，y2），
由
|
⇒x1+x2=
| 10k2 |
| 4+5k2 |
| 5k2-20 |
| 4+5k2 |
∵
| AD |
| AE |
| AD |
| AE |
∴x1x2+（y1-2）（y2-2）=0，x1x2+（kx1-k-2）（kx2-k-2）=0．
即(k2+1)x1x2-k(k+2)(x1+x2)+(k+2)2=0，代入得
| (k2+1)(5k2-20)-k(k+2)•10k2+(k+2)2(4+5k2) |
| 4+5k2 |
化简，得
| 9k2+16k-4 |
| 4+5k2 |
| 2 |
| 9 |
当k=-2时，直线DE的方程为y=-2x+2，由于直线DE过点A，不合题意．
当k=
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
因此存在点P(5，
| 8 |
| 9 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
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