Question

已知F₁、F₂是椭圆的左右焦点，A（0，b），连接AF₁并延长交椭圆C于B点，若，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是直线x=5上的一点，直线PF₂交椭圆C于D、E两点，是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出B点的坐标，写出所用向量的坐标，利用列式求出B的坐标（用含有b，c的代数式表示），然后分别用B在椭圆上和列式联立方程组求解a，b，c，则椭圆方程可求；
（2）假设存在点P，由题意设出DE所在直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出D，E两点的横坐标的和与积，把转化为坐标运算，代入根与系数关系后求出k的值，
求出直线方程后验证即可得到答案．
解答：解：（1）设B（x，y），又F₁（-c，0），A（0，b），F₂（c，0）．
∴，，．
∵，∴，
∴，即，
则．
又点B在椭圆上，∴a²=5c²，
又，即，
∴b²-c²=3，又∵a²=b²+c²，∴．
∴椭圆C的方程为；
（2）假设存在点P，由题意知直线DE的斜率一定存在，设为k，
则DE的方程为y=k（x-1），又设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
由
．
∵，∴，
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0，x₁x₂+（kx₁-k-2）（kx₂-k-2）=0．
即，代入得
化简，得，解得k=-2或．
当k=-2时，直线DE的方程为y=-2x+2，由于直线DE过点A，不合题意．
当时，直线DE的方程为，与x=5联立，求得点．
因此存在点满足题意．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，利用方程的根与系数的关系是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．