Question

19．在△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，变形后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A-B=0，即A=B，又整理已知等式可得：a²+b²-c²=ab，由余弦定理可求cosC，结合范围C∈（0，π），可解得C，即可确定出三角形形状．

解答 解：利用正弦定理化简bcosA=acosB得：sinBcosA=sinAcosB，
∴sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∴A-B=0，即A=B，
又∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得：（a+b）²-c²=3ab，整理可得：a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：C=$\frac{π}{3}$，
∴可得：A=B=C=$\frac{π}{3}$
则三角形形状为等边三角形．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及等边三角形的判定，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．