Question

如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12。
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上任取三个不同点P₁，P₂，P₃，使∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，证明：
为定值，并求此定值。

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为， 因焦点为F（3，0），故半焦距c=3， 又右准线l的方程为， 从而由已知， 因此a=6，， 故所求椭圆方程为； （2）记椭圆的右顶点为A，并设（i=1，2，3）， 不失一般性， 假设， 又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率， 从而有 （i=1，2，3）， 解得（i=1，2，3）， 因此 ， 而 ， 故为定值。