Question

18．已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，C₂：（x-1）²+y²=25，动圆C与圆C₁外切，与圆C₂内切，则圆C的圆心的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• B． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$

Answer 1

分析 由两圆的方程分别求出圆心C₁与C₂的坐标，两圆的半径，设圆C的半径为r，根据圆C与C₁外切，得到圆心距CC₁等于两半径之和，即CC₁=r+1，又圆C与C₂内切，得到圆心距CC₂等于两半径相减，即CC₂=5-r，由CC₁+CC₂等于常数2a，C₁C₂等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得圆心C的轨迹方程．

解答 解：由圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-1）²+y²=25，
得到C₁（-1，0），半径r₁=1，C₂（1，0），半径r₂=5，
设圆C的半径为r，
∵圆C与C₁外切而又与C₂内切，
∴CC₁=r+1，CC₂=5-r，
∴CC₁+CC₂=（r+1）+（5-r）=2a=6，又C₁C₂=2c=2，
∴a=3，c=1，
∴b=$\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$，
∴圆心C在焦点在x轴上，且长半轴为3，短半轴为2$\sqrt{2}$的椭圆上，
则圆心C的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
故选：D．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，考查了椭圆的定义，是中档题．