Question

(文)设函数f(x)＝－x³＋2ax²－3a²x＋b，0＜a＜1．

(1)求函数f(x)的单调区间、极值；

(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|(x)|≤a，试确定a的取值范围

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝－x2＋4ax－3a2． 　　令(x)＝－x2＋4ax－3a2＝0， 　　得x＝a或x＝3a．　　2分 　　由表 　　可知：当x∈(－∞，a)时，函数f(x)为减函数； 　　当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为减函数； 　　当x∈(a，3a)时，函数f(x)为增函数；　　4分 　　当x＝a时，f(x)的极小值为； 　　当x＝3a时，f(x)的极大值为b；　　7分 　　(2)由|(x)|≤a，得－a≤－x2＋4ax－3a2≤a． 　　∵0＜a＜1， 　　∴a＋1＞2a，(x)＝－x2＋4ax－3a2，在[a＋1，a＋2]上为减函数．　　10分 　　∴[(x)]max＝(a＋1)＝2a－1， 　　[(x)]min＝(a＋2)＝4a－4． 　　于是，问题转化为求不等式组的解． 　　解不等式组，得≤a≤1． 　　又0＜a＜1，∴所求a的取值范围是≤a＜1．　　14分