Question

8．设{a_n}是各项均为正数的等比数列且a₁+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$），a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）展开b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²，利用等比数列前n项和公式能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵{a_n}是各项均为正数的等比数列且a₁+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$），a₁+a₂+a₃=64（$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q=2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{1}q}）}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=64（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{1}q}+\frac{1}{{a}_{1}{q}^{2}}）}\end{array}\right.$，
解得q=32，${a}_{1}=\frac{1}{4}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{4}×3{2}^{n-1}$．
（2）∵b_n=（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）²=（$\frac{3{2}^{n-1}}{4}+\frac{4}{3{2}^{n-1}}$）²=$\frac{3{2}^{2n-2}}{16}+\frac{16}{3{2}^{2n-2}}+2$=$\frac{102{4}^{n}}{16384}$+$\frac{16384}{102{4}^{n}}$+2，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{16384}$×$\frac{1024（1-102{4}^{n}）}{1-1024}$+$16384×\frac{\frac{1}{1024}（1-\frac{1}{102{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{1024}}$+2
=$\frac{102{4}^{n}-1}{16368}$+$\frac{16384}{1023}$（1-$\frac{1}{102{4}^{n}}$）+2．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．