Question

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A，B)为p(A，B)=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|。对于平面xOy上给定的不同的两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
(Ⅰ)若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明ρ(A，C)+ρ(C，B)≥p(A，B)；
(Ⅱ)在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足
①ρ(A，C)+ρ(C，B)=ρ(A，B)；②ρ(A，C)=ρ(C，B)。
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵，
，
∴

；
(Ⅱ)注意到点A(x₁，y₁)与点B(x₂，y₂)不同，下面分三种情形讨论．
(1)若x₁=x₂，则y₁≠y₂，
由条件②得，
即，∴，
由条件①得，
∴，
∴，∴x=x₁，
因此，所求的点C为；
(2)若y₁=y₂，则x₁≠x₂，类似于(Ⅰ)，可得符合条件的点C为；
(3)当x₁≠x₂且y₁≠y₂时，不妨设x₁＜x₂，
(ⅰ)若y₁＜y₂，则由(Ⅰ)中的证明知，要使条件①成立，
当且仅当(x-x₁)(x₂-x)≥0与(y-y₁)(y₂-y)≥0同时成立，
故x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂，
从而由条件②，得，
此时所求点C的全体为M={(x，y)|，x₁≤x≤x₂且y₁≤y≤y₂}；
(ⅱ)若y₁＞y₂，类似地由条件①可得x₁≤x≤x₂且y₂≤y≤y₁，
从而由条件②得，
此时所求点的全体为{(x，y)|，x₁≤x≤x₂且y₂≤y≤y₁}。