题目内容

.(本题满分12分)

A(x1y1),B(x2y2),是椭圆+=(ab>0)上的两点,已知向量m=(),n=(),若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

 

 

【答案】

 

解:(Ⅰ)2b=2.b=1,e=

椭圆的方程为                       ………………………4分

(Ⅱ)(1)当直线AB斜率不存时,即x1=x2y1= -y2,由=0

                     ………………………6分

A(x1,y1)在椭圆上,所以

S

所以三角形的面积为定值                     … …………7分

(2)当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b

得到x1+ x1=

                             ………………………8分

代入整理得:

2b2- k2 =4                                ………………………10分

所以三角形的面积为定值.                 ……………………12分

 

【解析】略

 

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