题目内容
.(本题满分12分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),是椭圆+=(a>b>0)上的两点,已知向量m=(,),n=(,),若m·n=0且椭圆的离心率e=,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
【答案】
解:(Ⅰ)2b=2.b=1,e=
椭圆的方程为 ………………………4分
(Ⅱ)(1)当直线AB斜率不存时,即x1=x2,y1= -y2,由=0
………………………6分
又A(x1,y1)在椭圆上,所以
S=
所以三角形的面积为定值 … …………7分
(2)当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b
得到x1+ x1=
………………………8分
代入整理得:
2b2- k2 =4 ………………………10分
所以三角形的面积为定值. ……………………12分
【解析】略
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