Question

已知函数，（1）证明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

证明：（1）∵，∴，
∴，
当且仅当|tx|=1时，上式取等号．
∵0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，
∴|tx|≠1，
∴|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
当|t|≥|x|时，s=4t²≤4；当|t|≤|x|时s=4x²＜4
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）n=1时，结论显然成立
当n≥2时，=

=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．
分析：（1）由题设知，由0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²）=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|，由此能证明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（2），=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．
点评：本题考查不等式的证明和应用，解题时要注意公式的合理应用．