Question

已知向量

a

=（2cosα，2sinα），

b

=（3cosβ，3sinβ），若

a

与

b

的夹角为60°，则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（　　）

A．相交但不过圆心

B．相交且过圆心

C．相切

D．相离

Answer 1

分析：由已知利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，要判断直线xcosα-ysinα+1=0与圆的位置关系，只要判断圆心（cosβ，-sinβ）到直线xcosα-ysinα+1=0的距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|与圆的半径的比较即可

解答：解：由题意可得|

a

|=2，|

b

|=3，

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=2×3×

1

2

=3
又

a

•

b

=(2cosα，2sinα)•(3cosβ，3sinβ)=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=

1

2

，
圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离
d=

|2cosαcosβ+2sinαsinβ+1|

(2cosα)2+(-2sinβ)2

=

1+1

2

=1；
∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1相切，
故选C．

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识．