Question

已知(x²)⁵的展开式中的常数项为T,f(x)是以T为周期的偶函数,且当x∈［0,1］时,f(x)=x,若在区间［-1,3］内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是____________.

Answer 1

(0,］  由T_r+1=(x²)^5-r·()^r=(-1)^r·()^r·x^10-5r.

令10-5r=0,即r=2,得T=T₃=2.∴偶函数f(x)的周期为2.

又f(x)=x,x∈［0,1］,∴在x∈［-1,3］内,f(x)的图象如图所示:

由f(x)-kx-k=0,得f(x)=k(x+1).函数y=k(x+1)的图象是过点(-1,0),斜率为k的直线.

若直线过A(3,1),则k=.由图知,函数g(x)有四个零点时,0＜k≤.