Question

12．幂函数f（x）的图象经过点A（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则f（x）在A处的切线方程为x+2y-2$\sqrt{2}$=0．

Answer 1

分析 设出幂函数f（x）的解析式，把点的坐标代入，求出解析式，再利用导数求在该点处的切线方程即可．

解答 解：设幂函数f（x）=x^α，f（x）的图象经过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
${（\sqrt{2}）}^{α}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴α=-1，
∴f（x）=x^-1，
∴f′（x）=-x^-2，
当x=$\sqrt{2}$时，f′（$\sqrt{2}$）=-${（\sqrt{2}）}^{-2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴函数在点A处的切线方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即x+2y-2$\sqrt{2}$=0．
故答案为：x+2y-2$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查了幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，是基础题目．