Question

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；
（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．
解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1-x，tanβ=1-y，
由已知得：x+y+，即2（x+y）-xy=2…（4分）
∴tan（α+β）===1
∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）
（2）由（1）知，S_△EAF==AE×AF==
==…（12分）
∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为-1．
∵tan=，∴tan=-1，故此时BE=DF=-1．
所以，当BE=DF=-1时，△EAF的面积最小．…（15分）
点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．