Question

如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．
（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．

Answer 1

分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；
（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．

解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1-x，tanβ=1-y，
由已知得：x+y+

x2+y2

=2，即2（x+y）-xy=2…（4分）
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2-(x+y)

x+y-xy

=1
∵0＜α+β＜

π

2

，∴α+β=

π

4

；…（8分）
（2）由（1）知，S_△EAF=

1

2

AE×AF×sin∠EAF=

2

4

AE×AF=

2

4

×

1

cosαcosβ

=

2

4

×

1

cosαcos( π 4 -α)

=

1

sin2α+2cos2α

=

1

2 sin(2α+ π 4 )+1

…（12分）
∵0＜α＜

π

4

，∴2α+

π

4

=

π

2

，即α=

π

8

时，△EAF的面积最小，最小面积为

2

-1．
∵tan

π

4

=

2tan π 8

1-tan2 π 8

，∴tan

π

8

=

2

-1，故此时BE=DF=

2

-1．
所以，当BE=DF=

2

-1时，△EAF的面积最小．…（15分）

点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．