Question

（本小题满分13分）
已知椭圆 .与有相同的离心率,过点的直线与,依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线过的上顶点时, 直线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程;
（2）求证:;
（3）若,求直线的方程.

Answer 1

解:(1) .(2)见解析；(3)

本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及利用直线与椭圆的位置关系求解直线的方程，证明线段相等的综合运用。
（1）利用椭圆的几何性质表示得到a,b,c的关系式，从而得到椭圆的方程。
（2）设直线与椭圆方程联系，借助于坐标的关系来证明相等即可。
（3）在第二问的基础上，进一步得到关于直线斜率k的表达式，化简得到直线的方程，
解:(1),因此椭圆的方程为.
(2)当直线垂直轴时,易求得
因此,
当直线不垂直轴时,设
由     ①,
由    ②,
设,则是方程①的解, 是方程②的解.,线段AB,CD的中点重合,
(3).由(2)知,,当直线垂直轴时,不合要求;
当直线不垂直轴时,设,由(2)知,
,,


,化简可得:
  ,