Question

如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，OE=1，EF=，设∠AOE=α．
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f（α）；
（2）写出函数f（α）的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据OE=1，EF=，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要进行分类讨论：当α∈[0，]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上；当a∈时，A点在EF上，B点在FG上，从而可求相应的面积f（α），进而得出结论；
（2）由（1）分类求函数的值域：当α∈[0，]时，f（α）=∈[，-1]；当α∈时，f（α）=∈[-，]．故可得结论．
解答：解：（1）∵OE=1，EF=．
∴∠EOF=60°．
当α∈[0，]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=[tan（45°+α）-tanα]
==．
当a∈时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=．
∴f（α）=S_△AOB=OA•OB•sin45°=••sin45°=
综上得：f（α）=

（2）由（1）得：当α∈[0，]时，f（α）=∈[，-1]．
且当α=0时，f（α）_min=；α=时，f（α）_max=-1；
当α∈时，-≤2α-≤，f（α）=∈[-，]．
且当α=时，f（α） _min=-；当α=时，f（α） _max=．
所以f（α）∈[，]．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查三角函数，同时考查了三角函数的值域问题，综合性强，其中分类讨论是解题的关键．