Question

已知a＞0，函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时，-5≤f(x)≤1.
（1）求常数a,b的值；
(2)设g(x)=f且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间.

Answer 1

（1）a=2,b=-5.（2）g(x)的单调减区间为（k∈Z）

（1）∵x∈，∴2x+∈.
∴sin∈，
∴-2asin∈［-2a,a］.
∴f(x)∈［b,3a+b］,
又∵-5≤f(x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.
（2）由（1）知a=2,b=-5,
∴f（x）=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1.
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin-1＞1,
∴sin＞,
∴2k+＜2x+＜2k+,k∈Z.
由2k+＜2x+≤2k+(k∈Z),得g(x)的单调增区间为：（k∈Z）
由2k+≤2x+＜2k+,
得g(x)的单调减区间为（k∈Z）.