Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，满足M•m=

3

4

a²．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂，求

2S1S2

S12+S22

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）过点F的直线交椭圆于A，B两点．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a-c，结合M•m=

3

4

a²即可求出离心率；

解答： 解：（1）设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a-c，而M•m=

3

4

a2，所以有a2-c2=

3

4

a2，即a²=4c²，a=2c，
因此椭圆的离心率为e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）由（1）可知a=2c，b=

a2-c2

=

3

c，椭圆的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由

y=k(x+c) x2 4c2 + y2 3c2 =1

消去y并整理得（4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0
从而有x1+x2=-

8ck2

4k2+3

，y1+y2=k(x1+x2+2c)=

6ck

4k2+3

，（6分）
所以G(-

4ck2

4k2+3

，

3ck

4k2+3

)．
因为DG⊥AB，所以

3ck 4k2+3

- 4ck2 4k2+3 -xD

•k=-1，xD=-

ck2

4k2+3

．
由Rt△FGD与Rt△EOD相似，所以

S1

S2

=

GD2

OD2

=

(- 4ck2 4k2+3 + ck2 4k2+3 )2+( 3ck 4k2+3 )2

(- ck2 4k2+3 )2

=9+

9

k2

＞9．（10分）
令

S1

S2

=t，则t＞9，从而

2S1S2

S12+S22

=

2

t+ 1 t

＜

2

9+ 1 9

=

9

41

，即

2S1S2

S12+S22

的取值范围是(0，

9

41

)．（12分）
（2）设过焦点F的直线AB的方程为y=k（x+c），与椭圆方程联立，进而表示出点G、点D，然后表示出面积，从而求出．

点评：本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．