题目内容
已知正项数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足an=
+
（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜
．
| Sn |
| Sn-1 |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=
| 1 | ||||
|
| 11 |
| 18 |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知条件得当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
+
，从而
-
=1，由此得到
=n，从而求出an=2n-1．
（Ⅱ）bn=
=
=
(
-
)，由此利用裂项求和法能证明Tn＜
．
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
| Sn-1 |
| Sn |
（Ⅱ）bn=
| 1 | ||||
|
| 1 |
| n(n+3) |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+3 |
| 11 |
| 18 |
解答：
（Ⅰ）解：∵正项数列{an}的首项a1=1，
前n项和Sn满足an=
+
（n≥2），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
+
，
∴
-
=1，
∴数列{
}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴
=n，
∴n≥2时，有an=
+
=n+（n-1）=2n-1，
n=1时，a1=1适合，∴an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
=n，
则bn=
=
=
(
-
)，…（9分）
Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
=
[(1-
)+(
-
)+(
-
)+(
-
)…+(
-
)]
=
(1+
+
-
-
-
)＜
．
∴Tn＜
．…（14分）
前n项和Sn满足an=
| Sn |
| Sn-1 |
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
| Sn |
| Sn-1 |
∴
| Sn |
| Sn-1 |
∴数列{
| Sn |
∴
| Sn |
∴n≥2时，有an=
| Sn |
| Sn-1 |
n=1时，a1=1适合，∴an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
| Sn |
则bn=
| 1 | ||||
|
| 1 |
| n(n+3) |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+3 |
Tn=
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
=
| 1 |
| 1•4 |
| 1 |
| 2•5 |
| 1 |
| 3•6 |
| 1 |
| n(n+3) |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
| 11 |
| 18 |
∴Tn＜
| 11 |
| 18 |
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
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| B、i＜50；p=p+i |
| C、i≤50；p=p+1 |
| D、i＜50；p=p+1 |