Question

【题目】已知圆M：与轴相切．

(1)求的值；

(2)求圆M在轴上截得的弦长；

(3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.

试题解析：(1) 　　∵圆M：与轴相切　　

∴　　　∴

(2) 令，则　　∴

　∴

(3)

　∵的最小值等于点到直线的距离，　

∴　∴

∴四边形面积的最小值为．

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于， 两点，设直线的方程为．

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；

（2）已知直线与圆相交于， 两点．

（ⅰ）若，求实数的取值范围；

（ⅱ）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为， ， ，

是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意，圆心到直线的距离，由直线与圆相切得，由此能求出直线的方程；（2）（i）由题意得： ， ，由此能求出实数的取值范围；(ii) 与圆 联立，得： ，由韦达定理求出的坐标，从而得到

，由此能证明存在常数，使得恒成立．

试题解析：（1）解：由题意， ，

∴圆心到直线的距离，

∵直线与圆相切，∴，

∴，∴直线．

（2）解：由题意得： ，∴，

由（1）可知： ，∴，

∴．

（3）证明： ，与圆 联立，得： ，

∴， ，∴，

同理可得： ， ∵，

∴，即，

∵，∴， 设，

∴，∴， ∴，即，

∴，∴，

∴存在常数，使得恒成立．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.