Question

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.
（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）
（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；
（3）证明：任意的，函数都是等比源函数.

Answer 1

（1）①②都是等比源函数；（2）参考解析；（3）参考解析

解析试题分析：（1）函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.由等比源函数的定义可知.令x=2,4,16.即可得函数对应的三项为等比数列.令x=1,3,5即可得函数对应的三项成等比数列.所以①②都是等比源函数.
（2）对任意的正奇数，函数不是等比源函数，应用反正法，假设存在三项，根据奇偶性的性质即可得到假设不成立.从而得到证明.
（3）函数，对任意的是等比源函数.至少存在三个不同的数构成等比数列.通过证明存在三项.即命题成立.
试题解析：（1）①②都是等比源函数.4分
（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，
，整理得，
等式两边同除以得.
因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式不可能成立，
所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数10分
（3）因为任意的，都有，
所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.
由，（其中）可得
，整理得
，
令，则，
所以，
所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.
所以任意的，函数都是等比源函数.18分
考点：1.新定义函数的概念.2.列举递推的思想.3.反正法思想的应用.