Question

14．如图，在菱形ABCD中，MA⊥平面ABCD，且四边形ADNM是平行四边形．已知MA=3，AD=4，∠BAD=60°．
（1）求证：AC⊥BN；
（2）求三棱锥A-BCM的体积．

Answer 1

分析 （1）要证明AC⊥BN，只要证明AC⊥平面NDB，而由已知可知AC⊥BD，则只要证出AC⊥DN，结合已知容易证明；
（2）三棱锥A-BCM的体积V_{三棱锥A-BCM}=V_{三棱锥M-ABC}，由此求出体积．

解答 解：（1）证明：如图所示，
连接BD，则AC⊥BD；
由已知MA⊥平面ABCD，DN∥AM，
所以DN⊥平面ABCD，
所以DN⊥AC；
又因为DN∩DB=D，
所以AC⊥平面NDB．
又因为BN?平面NDB，
所以AC⊥BN；
（2）三棱锥A-BCM的体积为
V_{三棱锥A-BCM}=V_{三棱锥M-ABC}
=$\frac{1}{3}$•MA•S_△ABC
=$\frac{1}{3}$•MA•$\frac{1}{2}$V_菱形ABCD
=$\frac{1}{3}$×3×$\frac{1}{2}$×4²×sin60°
=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了线面垂直、线面平行的应用问题，也考查了求三棱锥体积的应用问题，是基础题目．