Question

3．设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=lg（n+1+a_n），n∈N^*，若a₂₀₁₆∈（lgk，lg（k+1）），则整数k=2019．

Answer 1

分析 考查放缩法的运用．首先应明确由a₂₀₁₅的范围，求得a₂₀₁₆的范围，可以确定a₂₀₁₅∈（3，4），进而可得a₂₀₁₆的范围，即可求得k的值．

解答 解：∵a_n+1=lg（n+1+a_n），n∈N^*，
取n=2014，∴a₂₀₁₅=lg（2015+a₂₀₁₄）＞lg2015＞3，
∴a₂₀₁₆=lg（2016+a₂₀₁₅）＞lg（2016+3）=lg2019，
又数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=lg（n+1+a_n），n∈N^*，
∴a₂=lg2＜4，a₃=lg（3+a₂）＜4，…，a₂₀₁₄=lg（2014+a₂₀₁₃）＜4，
∴a₂₀₁₅＜lg（2015+4）＜4，
∴a₂₀₁₆＜lg（2016+4）=lg2020，
综上，a₂₀₁₆∈（lg2019，lg2020），
∵a₂₀₁₆∈（lgk，lg（k+1）），
∴k=2019，
故答案为：2019．

点评 本题考查数列递推式，考查放缩法的运用，考查学生的计算能力，有难度．