题目内容

已知a、b均为正实数，且a+b=1，求y=(a+
1
a
)(b+
1
b
)的最小值．
分析：因为a、b均为正实数，且a+b=1，y=(a+
1
a
)(b+
1
b
)进行因式相乘，将其化为y=（ab+
1
ab
）+（
b
a
+
a
b
）再利用均值不等式进行放缩求y的最小值；
解答：解：y=(a+
1
a
)(b+
1
b
)
=（ab+
1
ab
）+（
b
a
+
a
b
）≥（ab+
1
ab
）+2
=（
ab
+
1
ab
）2=（4
ab
+
1
ab
-3
ab
）2
≥（2
4
ab
•
1
ab
-3×
a+b
2
）2
=（4-
3
2
）2=
25
4

当且仅当a=b=
1
2
时，y=（a+
1
a
）（b+
1
b
）取最小值，最小值为
25
4
；
点评：此题主要考查均值不等式的应用，利用均值不等式放缩时，要注意取等号的条件，是一道基础题；
练习册系列答案
相关题目
已知
2+
2
3
=2
2
3
，
3+
3
8
=3
3
8
，
4+
4
15
=4
4
15
，…，
6+
a
b
=6
a
b
，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则a+b=
41
41
．

已知a，b均为正实数，且a2＋＝1，求a的最大值．
已知a、b均为正实数,且a+b=1,则+的最大值是(    )

A.              B.               C.2                D.

已知a、b均为正实数，n∈N*，求证：(an＋bn)≤(an+1＋bn+1).

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