Question

【题目】已知抛物线的焦点为,直线过焦点交抛物线于两点, ,点的纵坐标为.

（Ⅰ）求抛物线的方程;

（Ⅱ）若点是抛物线位于曲线 (为坐标原点)上一点,求的最大面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为抛物线,又因为点在抛物线上,且纵坐标为,利用抛物线的定义，求得，即可得到抛物线的方程；

（Ⅱ）由题意设直线方程为，联立方程组，利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，即可得到面积的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）因为抛物线,所以.

又因为点在抛物线上,且纵坐标为,

由抛物线的定义知: ,所以.

所以抛物线的方程为: .

（Ⅱ）因为点在抛物线上,且纵坐标为,所以或

因为直线过抛物线的焦点

当时,直线的方程为

当与直线平行且与抛物线相切于第一象限的点时, 面积取得最大值

设直线方程为

由知,由知

直线方程为

此时两平行线间的距离为

因为

所以.

同理当时,所以.

综上, 面积的最大值为