对于给定数列{cn}.如果存在实常数p.q.使得cn+1=pcn+q对于任意的n∈N*都成立.我们称这个数列{cn}是“M类数列．(1)若an=2n.bn=3•2n.n∈N*.判断数列{an}.{bn}是否为“M类数列 .并说明理由,(2)若数列{an}是“M类数列 .则数列{an+an+1}.{an•an+1}是否一定是“M类数列 .若是的.加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q（p≠0）对于任意的n∈N^*都成立，我们称这个数列{c_n}是“M类数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，判断数列{a_n}，{b_n}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n+a_n+1}、{a_n•a_n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=3•2ⁿ（n∈N^*），设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的表达式，并判断{a_n}是否是“M类数列”．

分析（1）运用 M类数列定义判断，
（2）{a_n}是“M类数列”，得出a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，求解a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2的式子，结合定义判断即可
（3）整体运用a_n+a_n+1=3.2ⁿ（n∈N^*），分类得出：当n为偶数时，S_n=3（2+2³+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2，n为奇数时，S_n=1+3（2²+2⁴+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-3，化简即可得出S_n，再运用反证法证明即可．

解答解：（1）因为a_n+1=a_n+2，p=1，q=2是“M类数列”，
b_n+1=2b_n，p=2，q=0是“M类数列”．
（2）因为{a_n}是“M类数列”，所以a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，
所以a_n+1+a_n+2=p（a_n+1+a_n+2）+2q，因此，{a_n+a_n+1}是“M类数列”．
因为{a_n}是“M类数列”，所以a_n+1=pa_n+q，a_n+2=pa_n+1+q，
所以a_n+1a_n+2=p²（a_na_n+1）+pq（a_n+a_n+1）+q²，
当q=0时，是“M类数列”；
当q≠0时，不是“M类数列”；
（3）当n为偶数时，S_n=3（2+2³+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-2，
当n为奇数时，S_n=1+3（2²+2⁴+…+2^n-1）=2ⁿ⁺¹-3，
所以S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2，（n=2k，k∈Z）}\\{{2}^{n+1}-3，（n=2k-1，k∈Z）}\end{array}\right.$．
当n为偶数时a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-3）=2ⁿ+1，
当n为奇数时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-3-（2ⁿ-2）=2ⁿ-1（n≥3），
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}+1，（n=2k，k∈Z）}\\{{2}^{n}-1，（n=2k-1，k∈Z）}\end{array}\right.$
假设{a_n}是“M类数列”，
当n为偶数时，a_n+1=2ⁿ⁺¹-1=pa_n+q=p（2ⁿ+1）+qp=2，q=-3，
当n为奇数时，a_n+1=2ⁿ⁺¹+1=pa_n+q=p（2ⁿ-1）+q，
p=2，q=3，
得出矛盾，所以{a_n}不是“M类数列”．