Question

3．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10$\sqrt{3}$m，设∠GEB=θ．
（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；
（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别表示出EG，EF，FG，进而表示出l的表达式．
（2）设sinθ+cosθ把l转化为关于t的方程，利用单调性确定最大值．

解答 （1）因为EG=$\frac{10}{cosθ}$，EF=$\frac{10}{sinθ}$，FG=$\frac{10}{sinθcosθ}$，
l=10（$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθcosθ}$），θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

（2）l=$\frac{1+sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$•10
设t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
l=$\frac{2（t+1）}{{t}^{2}-1}$•10=$\frac{20}{t-1}$，为减函数，
∴当θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$时，有最大值20（$\sqrt{3}$+1），
答：当θ=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$时，污水净化效果最好，l最大值20（$\sqrt{3}$+1）m．

点评 本题主要考查了三角形问题的实际应用．解题的重要的地方是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．