题目内容

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB=
3
ac
a2+c2-b2
且B为锐角．
（1）求角B的大小；
（2）若b=
3
，试求a+c的取值范围．
分析：（1）在ABC中，由题意利用正弦定理求得sinB=
3
2
，再由B为锐角求得B的值．
（2）由（1）知 2R=
b
sinB
=2，再利用正弦定理化简a+c为2
3
sin(A+
π
6
)，再根据A∈（0，
2π
3
）可得A+
π
6
 的范围，从而求得 sin（A+
π
6
），从而求得a+c的取值范围．
解答：解：（1）由题意得：tanB=
3
ac
a2+c2-b2
=
3
2cosB
，∴
sinB
cosB
=
3
2cosB
，∴sinB=
3
2
．
∵B为锐角，∴B=
π
3
．        …（6分）
（2）由（1）知 2R=
b
sinB
=2，故a+c=2R(sinA+sinC)=2(sinA+sin(
2π
3
-A))=2
3
sin(A+
π
6
)．
又 A∈（0，
2π
3
），故A+
π
6
∈（
π
6
，
5π
6
），sin（A+
π
6
）∈（
1
2
，1]．
∴a+c∈(
3
，2
3
]，
∴a+c的取值范围为（
3
，2
3
]．…（12分）
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域、值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=（
3
sinωx+cosωx）cosωx-
1
2
，其中ω＞0，f（x）的最小正周期为4π．
（Ⅰ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，求y=g（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a-c）cosB=b•cosC，求f（A）的取值范围．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos2
A
2
=b+c，则△ABC的形状是（　　）
A、正三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
已知向量
m
=(coswx，sinwx)，
n
=(coswx，
3
coswx)，其中0＜w＜2，函数f(x)=
m
n
-
1
2
，直线x=
π
6
为其图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式及其单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(
A
2
)=1，b=2，S△ABC=2
3
，求a值．
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．若
AB
•
AC
=
CA
•
CB
=k(k∈R)
（1）判断△ABC的形状；
（2）若k=2，求b的值．

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