Question

如图，矩形ABCD所在平面垂直△ABE所在平面，点O、M分别为AB、EC的中点，AB=2，AD=AE=1，BE=

3

．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面CBE；
（Ⅱ）证明：BM∥平面DEO；
（Ⅲ）求直线DE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判断定理，证明AE⊥BC和AE⊥BE．
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理，证明BM∥ON，即可．
（Ⅲ）先确定直线DE与平面ABCD所成角，然后计算即可．

解答：解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，AB=平面ABCD∩平面ABE，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE∴AE⊥BC…（2分）
∵AB²=2²=4=AE²+BE²=1+3
∴AE⊥BE…（3分）
∵BC∩BE=B，BC，BE?平面CBE
∴AE⊥平面CBE；                                    …（4分）
（Ⅱ）证明：设DE的中点为N，连接MN，ON，在三角形EDC中，
MN为DC的中位线，故MN∥DC，MN=

1

2

DC，…（5分）
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB…（6分）
∵O为AB的中点，∴MN∥BO，MN=BO．
∴四边形MNOB为平行四边形
∴BM∥ON…（7分）
∵ON?平面DEO，BM?平面DEO
∴BM∥平面DEO；                …（8分）
（Ⅲ）过点E作EF⊥AB于点F，连接DF与BC⊥面ABE同理可得EF⊥平面ABCD．（9分）
∴DF为DE在面ABCD上的射影
∴∠EDF为直线DE与面ABCD所成的角  …（10分）
∴在Rt△EFD中sin∠EDF=

EF

DE

在Rt△DAE中，DE=

DA2+AE2

=

12+12

=

2

…（11分）
在Rt△AEB中，EF=

AE×BE

AB

=

3

2

…（12分）
∴sin∠EDF=

EF

DE

=

3 2

2

=

6

4

∴直线DE与面ABCD所成角的正弦值

6

4

．…（13分）

点评：本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握相关的判定定理．