Question

已知a＞0，函数y＝f(x)＝x³－ax在[1，＋∞)上是一个单调函数．

(1)试问函数y＝f(x)在a＞0的条件下，在[1，＋∞)上能否是单调递减函数？请说明理由；

(2)若f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，试求出实数a的取值范围；

(3)设x₀≥1，f(x₀)≥11且f[f(x₀)]＝x₀，求证：f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

(1)若在[1，＋∞)上是单调递减函数，则须，即这样的实数不存在，故在[1，＋∞)上不可能是单调递减函数． 　　(2)若在[1，＋∞)上是单调递增函数，则由于，故，从而(3)证法一：由(1)、(2)可知在[1，＋∞)上只能是单调增函数． 　　若，则矛盾； 　　若，则，即矛盾； 　　故只有成立． 　　证法二：设，则，∴，两式相减得 　　∵，，∴又，∴，即，亦即，证毕．