Question

（20）已知a＞0，函数f（x）＝，x∈（0，＋∞）.设0＜x₁＜，设曲线y＝f（x）在

点M（x₁，f（x₁））处的切线为l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）设l与x轴交点为（x₂，0）.证明：

 

（i）0＜x₂≤;

 

（ii）若x₁＜，则x₁＜x₂＜.

Answer 1

（20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）＝－，由此得切线l的方程：

y－（）＝－（x－x₁）.           

 

（Ⅱ）证：依题意，切线方程中令y＝0，

x₂＝x₁（1－ax₁）＋x₁＝x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜，       

 

（i）由0＜x₁＜，x₂＝x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂＝－a（x₁－）²＋.

 

∴0＜x₂≤，当且仅当x₁＝时，x₂＝.                 

 

（ii）当x₁＜时，ax₁＜1，因此，x₂＝x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

 

所以x₁＜x₂＜.