Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD，由三角形中位线定理可得OD∥A₁B，进而由线面平行的判定定理得到A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）由直棱柱的特征可得BB₁⊥AD，由三角形三线合一可得AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥平面B₁BCC₁．进而AD⊥CE，由侧面B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，利用三角形全等可证得C₁D⊥CE，最后再由线面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）以B₁C₁的中点G为原点，建立如图空间直角坐标系，分别求出平面AC₁D的一个法向量和平面ACC₁的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：证明：（Ⅰ）连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD．
因为O，D分别为AC₁和BC的中点，
所以OD∥A₁B．
又OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．（4分）
证明：（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以BB₁⊥AD．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
又CE?平面B₁BCC₁，
所以AD⊥CE．
因为四边形B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C₁DC=90°．
所以C₁D⊥CE．
又AD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面AC₁D．                （9分）
解：（Ⅲ）如图，以B₁C₁的中点G为原点，建立空间直角坐标系．
则A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），C₁（-3，0，0）．
由（Ⅱ）知CE⊥平面AC₁D，所以为平面AC₁D的一个法向量．
设n=（x，y，z）为平面ACC₁的一个法向量，，．
由可得
令x=1，则．
所以．
从而．
因为二面角C-AC₁-D为锐角，
所以二面角C-AC₁-D的余弦值为．（14分）
点评：本题是一个与二面角有关的立体几何综合题，以正三棱柱为载体，考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，及二面角等考点，难度中档．