Question

【题目】下列4个命题，其中正确的命题是 ①“ ”是“ 不共线”的充要条件；
②已知向量 是空间两个向量，若 ，则向量 的夹角为60°；
③抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是 ；
④与两圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为 ．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①若 同向共线，则“ ”成立，即充分性不成立，故①错误， ②已知向量 是空间两个向量，若 ，
则平方得| |2﹣2 +| |2=7，
即9﹣2 +4=7，则 =3，
则cos＜ ， ＞= = ，
则向量 的夹角为60°；故②正确，
③先对y=﹣x2求导得y′=﹣2x，令y′=﹣2x=﹣ ，易得切点的横坐标为x0= ，
即切点P（ ，﹣ ），利用点到直线的距离公式得d= = ．
则抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是 ；故③正确，
④解：设所求圆P的半径为R，
∵与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切
∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|﹣|PB|=6，
∴由双曲线的定义知，圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的右支，
∴a=3，c=5；∴b=4；圆心P的轨迹方程为 =1（x＞0），故④错误，
所以答案是：②③
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．