Question

已知函数f(x)=

x2+1 ，x≤0 ln(x+1) ，x＞0

，若f（x）＞kx对任意的x∈R恒成立，则k的取值范围是______．

Answer 1

当x≤0时，f（x）＞kx，即x²+1＞kx，x=0时k∈R；
当x＜0时，有x+

1

x

＜k，而x+

1

x

≤-2（x=-1取等号），所以k＞-2；
故x≤0时，f（x）＞kx恒成立，得k＞-2；
当x＞0时，f（x）＞kx，即为ln（x+1）＞kx，而ln（x+1）＞0，
结合图象可知，要使该不等式恒成立，只需k≤0；
综上，要使f（x）＞kx对任意的x∈R恒成立，k的范围为-2＜k≤0．
故答案为：（-2，0]