Question

已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足
的正整数的个数．

Answer 1

，符合要求的一共有5个

解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，
由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，
所以3只可能是数列中的第1，2，3项，
若，则，若，则，
若，则；
（2）首先对元素2进行分类讨论：
①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得
，这显然不可能；
②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，
因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，
所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，
这样，
则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，
上述数列符合要求；
③若2是数列的第项（），则，
即数列的公差，
所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的
前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，
它们均小于8，
即数列的前9项均小于8，这与矛盾。
综上所述，，
其次，当时，，
，，
当时，，因为是公差为的等差数列，
所以，
所以，
此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个