Question

已知三个非零向量a=pe₁-qe₂,b=re₂-pe₃,c=qe₃-re₁,且p、q、r不全为零,求证：a、b、c共面.

Answer 1

证明:(1)若e₁、e₂、e₃共面，设该平面为α，

∵a=pe₁-qe₂,∴a、e₁、e₂共面a∥α.同理?b∥α,?c∥α,∴a、b、c共面.

(2)若e₁、e₂、e₃不共面，则ra+qb+pc=r(pe₁-qe₂)+q(re₂-pe₃)+p(qe₃-re₁)=(pr-pr)e₁+(qr-qr)e₂+(pq-pq)e₃=0.

∵p、q、r不全为零，不妨设r≠0,

则,∴a、b、c共面.

综上可知，a、b、c共面.

启示：证明三向量共面的理论是共面向量定理，简记为其中一个向量可用其余两个向量线性表示出来.如(2),难点是发现ra+qb+pc=0.