Question

已知动点H到直线x-4=0的距离与到点（2，0）的距离之比为

2

．
（Ⅰ） 求动点H的轨迹E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点H（x，y），

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，由此能求出动点H的轨迹E的方程．
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

OA

⊥

OB

，当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x²+2y²=8联立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能够得到所求的圆．当切线的斜率不存在时，切线x=±

2 6

3

，与椭圆x²+2y²=8的两个交点为(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)，满足

OA

⊥

OB

．由此知存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

．

解答：解：（Ⅰ）设动点H（x，y）（1分）
∴

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

（3分）
∴动点H的轨迹E的方程为x²+2y²=8，（4分）
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，
与x²+2y²=8联立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=8（8k²-m²+4）＞0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，（5分）
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，（6分）
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，（7分）
∴对任意k，符合条件的m满足

3m2-8≥0 3m2-8-m2+4＞0

，
∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，（8分）
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴所以圆的半径为r=

|m|

1+k2

，
∴r2=

m2

1+k2

=

8(1+k2)

3(1+k2)

=

8

3

，
∴所求的圆为x2+y2=

8

3

，（9分）
此时该圆的切线y=kx+m都满足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，分
∴所求的圆为x2+y2=

8

3

，（10分）
②当切线的斜率不存在时，切线x=±

2 6

3

，
与椭圆x²+2y²=8的两个交点为(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)，
满足

OA

⊥

OB

，（11分）
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且

OA

⊥

OB

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意耐心地进行计算，避免不必要的错误．