Question

已知动点H到直线x-4=0的距离与到点（2，0）的距离之比为．
（Ⅰ） 求动点H的轨迹E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设动点H（x，y），，由此能求出动点H的轨迹E的方程．
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且，当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，与x²+2y²=8联立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能够得到所求的圆．当切线的斜率不存在时，切线，与椭圆x²+2y²=8的两个交点为或，满足．由此知存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
解答：解：（Ⅰ）设动点H（x，y）（1分）
∴（3分）
∴动点H的轨迹E的方程为x²+2y²=8，（4分）
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y=kx+m，
与x²+2y²=8联立方程得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴△=8（8k²-m²+4）＞0，
∴，（5分）
∴，（6分）
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，（7分）
∴对任意k，符合条件的m满足，
∴，即或，（8分）
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴所以圆的半径为，
∴，
∴所求的圆为，（9分）
此时该圆的切线y=kx+m都满足或，分
∴所求的圆为，（10分）
②当切线的斜率不存在时，切线，
与椭圆x²+2y²=8的两个交点为或，
满足，（11分）
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意耐心地进行计算，避免不必要的错误．