Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．
（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面平面．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. ，分别为，中点，在△中，是中点，是中点，所以∥．又因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由面面垂直性质定理可得线面垂直，因为平面底面，且平面平面，又，平面，所以面．又因为平面，所以．即．（Ⅲ）证明面面垂直，关键找出线面垂直. 在△中，因为，所以．由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．又因为平面，所以平面平面．
证明：（Ⅰ）如图，连结．
因为底面是正方形，
所以与互相平分．         
又因为是中点，
所以是中点．
在△中，是中点，是中点，
所以∥．
又因为平面，平面，
所以∥平面．                                          4分
（Ⅱ）因为平面底面，且平面平面，
又，平面，
所以面．
又因为平面，
所以．即．                             9分    
（Ⅲ）在△中，因为，所以．
由（Ⅱ）可知，且，
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．                                 14分