题目内容

在单位圆O上的两点A，B，满足∠AOB=120°，点C是单位圆上的动点，且 $数学公式$ ，则x-2y的取值范围是

A.
[0，2]
B.
[-2，2]
C.
[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]
D.
[0， $数学公式$ ]

B
分析：以O为原点、OA所在直线为x轴，建立如图坐标系，得A（1，0），B（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．由 $\text{[math]}$ ，得C（x- $\text{[math]}$ y， $\text{[math]}$ y），由点C在单位圆上得x²-xy+y²-1=0，再设t=x-2y，利用一元二次方程根的判断式列式，可得x-2y的取值范围．
解答：

以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系，可得A（1，0），如图所示
∵∠AOB=120°，∴B（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
设C（m，n），得 $\text{[math]}$ =（m，n）
∵ $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ y， $\text{[math]}$ y）
∴m=x- $\text{[math]}$ y，n= $\text{[math]}$ y，得C（x- $\text{[math]}$ y， $\text{[math]}$ y）
∵点C单位圆上的点，
∴（x- $\text{[math]}$ y）²+（ $\text{[math]}$ y）²=1，得x²-xy+y²-1=0…（*）
为了求x-2y的取值范围，令t=x-2y，得y= $\text{[math]}$ （x-t）
代入（*）并整理，得 $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ t²-1=0
上述方程有解，所以△=-4× $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ t²-1）≥0，解之得-2≤t≤2
故选：B
点评：本题给出起点在原点、终点在单位圆上的向量，在满足已知等式的情况下求变量的取值范围，着重考查了平面向量的坐标运算、圆的标准方程和根的判别式等知识，属于中档题．