Question

在单位圆O上的两点A，B，满足∠AOB=120°，点C是单位圆上的动点，且

OC

=x

OA

+y

OB

，则x-2y的取值范围是（　　）

• A．[0，2]
• B．[-2，2]
• C．[-

  2

  ，

  2

  ]
• D．[0，

  2

  ]

Answer 1

分析：以O为原点、OA所在直线为x轴，建立如图坐标系，得A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

）．由

OC

=x

OA

+y

OB

，得C（x-

1

2

y，

3

2

y），由点C在单位圆上得x²-xy+y²-1=0，再设t=x-2y，利用一元二次方程根的判断式列式，可得x-2y的取值范围．

解答：解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系，可得A（1，0），如图所示
∵∠AOB=120°，∴B（-

1

2

，

3

2

）
设C（m，n），得

OC

=（m，n）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x-

1

2

y，

3

2

y）
∴m=x-

1

2

y，n=

3

2

y，得C（x-

1

2

y，

3

2

y）
∵点C单位圆上的点，
∴（x-

1

2

y）²+（

3

2

y）²=1，得x²-xy+y²-1=0…（*）
为了求x-2y的取值范围，令t=x-2y，得y=

1

2

（x-t）
代入（*）并整理，得

3

4

x²+

1

4

t²-1=0
上述方程有解，所以△=-4×

3

4

（

1

4

t²-1）≥0，解之得-2≤t≤2
故选：B

点评：本题给出起点在原点、终点在单位圆上的向量，在满足已知等式的情况下求变量的取值范围，着重考查了平面向量的坐标运算、圆的标准方程和根的判别式等知识，属于中档题．