Question

已知：A、B∈(0，)，且A＋B＝．

求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2．

Answer 1

答案：
解析：

证法1： 　　∵A＋B＝， 　　∴tanB＝tan(－A)＝． 　　左边＝(1＋tanA)(1＋) 　　＝(1＋tanA)·＝2＝右边． 　　故原式成立． 　　证法2：由tan(A＋B)＝得， 　　tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＝tanA＋tanB． 　　∴原式左边＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB 　　＝tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＋(1＋tanA·tanB)． 　　又∵A＋B＝， 　　∴tan(A＋B)＝1． 　　∴原式左边＝1－tanAtanB＋1＋tanAtanB＝2＝右边． 　　故原式成立． 　　思路分析1：从局部入手， 　　tanB＝tan(－A)＝． 　　思路分析2：从整体入手， 　　(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋(1＋tanAtanB) 　　〔此式由tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)代换得到〕．

提示：

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα＋tanβ或tanα－tanβ，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效．