Question

【题目】四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.

（1）求证：；

（2）当面面时，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）由平面得，又在菱形中有，故得平面，于是得到．（2）结合题意可得平面，故．根据面面得到，然后根据几何图形的计算得到，于是，，又，由此可得所求的三棱锥的体积．

详解：（1）∵，

∴直线确定一平面.

∵平面，平面，

∴．

由题意知直线在面上的射影为，

又在菱形中有，，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，

连接、，则，，

又,

∴平面．

又平面面，平面 面，

∴面，

∴.

在菱形中，，，

∴.

在中，．

在中，设，则．

∴在中，，

又在直角梯形中，，

故，

解得，即.

∴，

∴.