Question

9．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（4，0），B（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求直线AB和圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圆的直角坐标方程，求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；
（Ⅱ）求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，可得：ρ²=2ρsinθ，所以x²+y²=2y，
圆的直角坐标方程为：x²+y²-2y=0（或x²+（y-1）²=1），
在直角坐标系中$A（4，0），B（3，\sqrt{3}）$，
可得直线AB的方程为：$\sqrt{3}x+y-4\sqrt{3}=0$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆心C（0，1），r=1，$|{AB}|=\sqrt{{{（4-3）}^2}+{{（0-\sqrt{3}）}^2}}=2$，
圆心到直线AB的距离$d=\frac{{|{1-4\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{4}}}=\frac{{4\sqrt{3}-1}}{2}$，
所以圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r=$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$+1=$\frac{4\sqrt{3}+1}{2}$，
故△ABP面积的最大值为$S=\frac{1}{2}×2×\frac{{4\sqrt{3}+1}}{2}=\frac{{4\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆方程的运用，注意运用圆上的点到直线的距离的最值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．