Question

求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上且被y轴截得的弦长为2

2

的圆的方程．

Answer 1

分析：根据题意设出圆心O₁的坐标为（ x₀，3x₀），半径为r，结合相切的条件可得r=

2

|x₀|，又根据圆被y轴截得的弦|AB|=2

2

，即可构成直角三角形进而求出x₀，得到圆的方程．

解答：解：由题意可得：设圆心O₁的坐标为（ x₀，3x₀），半径为r（r＞0），（2分）
因为圆与直线y=x相切，
所以

|x0-3x0 |

2

=r（5分），即r=

2

|x₀|（6分）
又因为圆被y轴截得的弦|AB|=2

2

，
所以(

2

)2+x₀²=r²（8分）
∴2+x₀²=2 x₀²
∴解得x₀=±

2

，（10分）
∴r=2   （11分）
即圆的方程为：(x+

2

)2+(y+3

2

)2=4或(x-

2

)2+(y-3

2

)2=4．（13分）

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，确定出圆心坐标和圆的半径是写出圆标准方程的前提，熟练掌握直线与圆的位置关系相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径是解第二问的关键．